Gemini API を活用した数学作問自動化の試み

import os
import google.generativeai as genai

GOOGLE_API_KEY = os.getenv('GOOGLE_API_KEY')
genai.configure(api_key=GOOGLE_API_KEY)

gemini_pro = genai.GenerativeModel("gemini-1.5-flash")

prompt = f"数学の問題と解答例を{num_problems}個作成してください。単元は{genre}で、難易度は{difficulty}です。解説は、公式の利用、計算過程、解答に至るまでの思考過程などを含めて記述してください。"
print(f"プロンプト：{prompt}")

response = gemini_pro.generate_content(prompt)
print(response.text)

## 問題1

**問題:** 頂点が点$(-1, 2)$ で、点$(1, 6)$ を通る二次関数 $y = a(x+1)^2 + 2$ の $a$ の値を求めよ。また、その二次関数の式を求めよ。


**解答例:**

**1. 思考過程:**

この問題は、二次関数の頂点形 $y = a(x-p)^2 + q$ を利用します。頂点 $(p, q)$ が $(-1, 2)$ と与えられているので、$p = -1$, $q = 2$ となります。よって、二次関数の式は $y = a(x+1)^2 + 2$ と表せます。さらに、点 $(1, 6)$ を通るので、$x = 1$ のとき $y = 6$ となります。この条件を使って $a$ の値を求めます。

**2. 計算過程:**

点 $(1, 6)$ を二次関数 $y = a(x+1)^2 + 2$ に代入すると、

$6 = a(1+1)^2 + 2$
$6 = a(2)^2 + 2$
$6 = 4a + 2$
$4a = 6 - 2$
$4a = 4$
$a = 1$

よって、$a$ の値は 1 です。

**3. 解答:**

$a = 1$ より、二次関数の式は $y = (x+1)^2 + 2$ となります。


## 問題2

**問題:**  二次関数 $y = x^2 - 4x + 3$ のグラフの軸、頂点、$x$ 切片、$y$ 切片を求めよ。また、そのグラフを描いてください。


**解答例:**

**1. 思考過程:**

この問題は、二次関数の標準形 $y = ax^2 + bx + c$ から、軸、頂点、$x$ 切片、$y$ 切片を求める問題です。軸は $x = -\frac{b}{2a}$ の式で求められます。頂点は軸上の点なので、軸の$x$座標を元の式に代入することで$y$座標を求めます。$x$ 切片は $y = 0$ としたときの $x$ の値、$y$ 切片は $x = 0$ としたときの $y$ の値です。

**2. 計算過程:**

与えられた二次関数 $y = x^2 - 4x + 3$ は標準形 $y = ax^2 + bx + c$ と比較して、$a = 1$, $b = -4$, $c = 3$ となります。

* **軸:** 軸は $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2$ です。
* **頂点:** $x = 2$ を元の式に代入すると、$y = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$ となります。よって、頂点は $(2, -1)$ です。
* **$x$ 切片:** $y = 0$ とすると、$x^2 - 4x + 3 = 0$ となります。因数分解すると $(x-1)(x-3) = 0$ なので、$x = 1$ または $x = 3$ です。よって、$x$ 切片は $(1, 0)$ と $(3, 0)$ です。
* **$y$ 切片:** $x = 0$ とすると、$y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$ となります。よって、$y$ 切片は $(0, 3)$ です。


**3. 解答:**

軸：$x = 2$
頂点：$(2, -1)$
$x$ 切片：$(1, 0)$, $(3, 0)$
$y$ 切片：$(0, 3)$

(グラフは、軸、頂点、$x$切片、$y$切片を用いて放物線を描きましょう。下に凸の放物線になります。)


これらの解答例が、高校1年生レベルの二次関数に関する理解の助けになれば幸いです。  グラフを描く際には、方眼紙などを用いて正確に描画することをお勧めします。

prompt = f"数学の問題と解答例を{num_problems}個作成してください。単元は{genre}で、難易度は{difficulty}です。解説は、公式の利用、計算過程、解答に至るまでの思考過程などを含めて記述してください。解答は、問題文、解答、解説のキーを持つJSONオブジェクトとして出力し、JSONオブジェクトのキーは、\"problem\", \"answer\", \"explanation\"としてください。"

```json
[
  {
    "problem": "二次関数 y = x² - 4x + 3 のグラフの頂点の座標と、x軸との交点の座標を求めよ。",
    "answer": "頂点の座標：(2, -1)、x軸との交点の座標：(1, 0), (3, 0)",
    "explanation": "この問題は、二次関数のグラフの性質を利用して解きます。\n\n**1. 頂点の座標:**\n二次関数 y = ax² + bx + c の頂点のx座標は、x = -b/(2a) で求められます。この問題では、a = 1, b = -4, c = 3 なので、頂点のx座標は x = -(-4) / (2 * 1) = 2 となります。\n次に、x = 2 を元の関数に代入してy座標を求めます。y = 2² - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 となります。したがって、頂点の座標は (2, -1) です。\n\n**2. x軸との交点の座標:**\nx軸との交点とは、y = 0 となる点です。よって、x² - 4x + 3 = 0 を解けば良いことになります。この二次方程式は因数分解を用いて解くことができます。\n x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0\nよって、x = 1 または x = 3 となります。したがって、x軸との交点の座標は (1, 0) と (3, 0) です。\n\n**思考過程:**\nまず、問題文で求められているものが頂点とx軸との交点であることを理解する必要があります。頂点を求めるには、頂点の公式を利用します。x軸との交点は、y=0を代入した方程式を解くことで求めることができます。この方程式は因数分解できるため、比較的容易に解くことができます。もし因数分解が困難な場合は、解の公式を用いる必要があります。"
  },
  {
    "problem": "二次関数 y = 2x² + 8x + 5 について、x = -2 のときのyの値を求め、その点における接線の傾きを求めよ。",
    "answer": "y = -3、接線の傾き = -4",
    "explanation": "この問題は、二次関数の値と微分係数（接線の傾き）を求める問題です。\n\n**1. x = -2 のときの y の値:**\nx = -2 を y = 2x² + 8x + 5 に代入します。\ny = 2(-2)² + 8(-2) + 5 = 2(4) - 16 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3\nよって、x = -2 のときの y の値は -3 です。\n\n**2. 接線の傾き:**\n接線の傾きは、関数の導関数（微分係数）をその点のx座標で評価することで求まります。\nまず、y = 2x² + 8x + 5 を x について微分します。\ny' = d/dx (2x² + 8x + 5) = 4x + 8\n次に、x = -2 を y' に代入します。\ny'(-2) = 4(-2) + 8 = -8 + 8 = 0\nよって、x = -2 の点における接線の傾きは 0 です。\n\n**思考過程:**\nまず、問題文で求められているものが、特定のx座標におけるyの値と、その点での接線の傾きであることを理解する必要があります。yの値は、関数の式にxの値を代入することで直接求まります。接線の傾きは、関数を微分して得られる導関数を用いて求めます。導関数は、その関数の各点における接線の傾きを表す関数です。"
  }
]
```

gemini_pro = genai.GenerativeModel("gemini-1.5-flash", generation_config={"response_mime_type": "application/json"})

prompt = f"数学の問題と解答例を{num_problems}個作成してください。単元は{genre}で、難易度は{difficulty}です。解説は、公式の利用、計算過程、解答に至るまでの思考過程などを含めて記述してください。解答は、問題文、解答、解説のキーを持つJSONオブジェクトとして出力し、JSONオブジェクトのキーは、\"problem\", \"answer\", \"explanation\"としてください。また、JSONオブジェクトのルートキーは必ず \"questions\" にしてください。"

{
 "questions": [
 {
 "problem": "二次関数 y = 2x² - 8x + 5 のグラフの頂点の座標と、x軸との交点の座標を求めなさい。",
 "answer": "頂点：(2, -3)　x軸との交点：(2 ± √2)/2, 2 ∓ √2)/2",
 "explanation": "この問題は、二次関数のグラフの性質を利用して解きます。\n\n**1. 頂点の座標**\n\n二次関数 y = ax² + bx + c の頂点のx座標は、x = -b/(2a) で求められます。この問題では、a = 2, b = -8, c = 5 なので、頂点のx座標は x = -(-8) / (2 * 2) = 2 となります。\n\n次に、x = 2 を元の二次関数に代入して、y座標を求めます。\ny = 2(2)² - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3\n\nよって、頂点の座標は (2, -3) です。\n\n**2. x軸との交点**\n\nx軸との交点とは、y = 0 となるxの値です。したがって、2x² - 8x + 5 = 0 を解きます。この二次方程式は因数分解できないので、解の公式を使います。\n\n解の公式: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)\n\nこの問題では、a = 2, b = -8, c = 5 なので、\n\nx = (8 ± √((-8)² - 4 * 2 * 5)) / (2 * 2) = (8 ± √(64 - 40)) / 4 = (8 ± √24) / 4 = (8 ± 2√6) / 4 = 2 ± √6/2\n\nよって、x軸との交点のx座標は (2 + √6)/2 と (2 - √6)/2 です。\n\nしたがって、x軸との交点の座標は ((2 + √6)/2, 0) と ((2 - √6)/2, 0) となります。"
 },
 {
 "problem": "二次関数 y = -x² + 4x + 5 のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。",
 "answer": "36/3",
 "explanation": "この問題は、二次関数のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。まず、x軸との交点を求めます。\n\ny = -x² + 4x + 5 = 0\n\nこの方程式を解くと、x = -1, 5 となります。よって、x軸との交点は (-1, 0) と (5, 0) です。\n\nグラフは上に凸の二次関数なので、x軸との交点間の面積は、定積分を用いて求めることができます。\n\n求める面積 S は、\n\nS = ∫(from -1 to 5) (-x² + 4x + 5) dx\n\n= [-x³/3 + 2x² + 5x] (from -1 to 5)\n\n= (-125/3 + 50 + 25) - (1/3 + 2 -5)\n\n= (-125/3 + 75) - (-8/3)\n\n= (-125 + 225)/3 + 8/3\n\n= 100/3 + 8/3 = 108/3 = 36\n\nしたがって、二次関数 y = -x² + 4x + 5 のグラフとx軸で囲まれた部分の面積は36です。"
 }
 ]
}